Diagramma di Bode di un filtro RC
Una rete RC con ingresso la tensione di alimentazione e uscita la tensione sul condensatore rappresenta un filtro passa-basso. Esso lascia inalterate le tensioni a frequenza inferiori alla frequenza di taglio e attenua le tensioni a frequenza superiore.
per capire dei anche sapere:
- generalità sui diagrammi di Bode;
- operazioni sui logaritmi;
-operazioni sui numeri complessi;
Analisi in frequenza attraverso il diagramma di Bode
Per poter rappresentare i diagrammi di Bode occorre calcolare il modulo del guadagno in funzione di w e lo sfasamento f tra l'usci e l'ingresso in funzione di w ( nel campo armonico cioè con grandezze sinusoidali).
Il guadagno non è altro che il rapporto tra l'uscita Vc(t) e l'ingresso Vi(t).
Applicando le leggi di ohm alla rete in figura si ha:
1
Vi(t) = I(t) (R + -------)
jwC
1
Vc(t) = I(t) --------
jwC 1
I(t) -------
Vc(t) ( jwC)
pertanto G( jw) = ------------ = ------------------
Vi(t) 1
I(t) (R + -----)
jwC
semplificando:
1 1
G( jw) = ------------------ = --------------
1 jwCR + 1
(R + ----- )jwC
jwC
1
essendo RC = t G(jw) = -------------
1+ jtw
In pratica il guadagno in funzione della pulsazione ( quindi in funzione della frequenza essendo w = 2pf ) non è altro che la funzione di trasferimento espressa in campo armonico (Trasformata di Fourier).
Il modulo di questa espressione si ottiene calcolando il modulo del numeratore e del denominatore. (Si ricorda che il modulo di un numero complesso è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati del coefficiente reale e del coefficiente della parte complessa.)
f = fnum - fden
(Si ricorda che lo sfasamento di un vettore espresso con un numero complesso si ottiene calcolando l'arcotangente del rapporto tra la coordinata complessa e la coordinata reale)
0
fnum = arctg ------
1
essendo il numeratore il numero complesso 1+j0 e il denom. 1+jwt
wt
fden = arctg -----
1
pertanto f = 0 - arctg(wt) = - arctg (wt)
Diagrammi di Bode
Solo utilizzando programmi di calcolo è possibile tracciare in modo preciso i diagrammi di Bode. In questo caso, un diagramma semplice, calcolando solo 3 punti si può tracciare un andamento, per quanto approssimato, abbastanza attendibile.
I punti che conviene prendere in considerazione sono quelli corrispondenti ai valori di pulsazione e di fase pari a 0, 1/t, infinito.
Si rammenta che:
- il logaritmo di 1 è uguale a 0;
- il logaritmo di un prodotto è
eguale alla somma dei logaritmi dei fattori;
-il logaritmo di un rapporto è
uguale alla differenza tra il logaritmo del numeratore e il
logaritmo del denominatore;
-il logaritmo di una potenza è
uguale al prodotto tra l'esponente e il logaritmo della base.
Conviene compilare una tabella come in figura. Si rammenta che il modulo del guadagno è espresso in decibel mentre sull'asse delle ascisse si riporta il logaritmo in base 10 della pulsazione. La fase va espressa in gradi o radianti sempre in funzione del logaritmo della pulsazione.
Scala logaritmica
La scala logaritmica permette di rappresentare ampi intervalli di dati in modo più compatto. Passare da 1 a 2 in scala logaritmica significa passare da 101 a 102, la differenza tra due unità consecutive rappresenta una decade.
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