Esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme delle sinusoidi

Y=Y_Msen(wt + a)

E l’insieme dei vettori di ampiezza Y_M e rotanti con velocità angolare costante w.

- Seno trigonometrico

- Velocità angolare

- Vettori

Questa corrispondenza può essere facilmente evidenziata attraverso una costruzione grafica. Si provi a trasformare in disegno quanto segue.

Si disegni una coppia di assi cartesiani x,y con origine in O, e si applichi all’origine il vettore di ampiezza Y_M con angolo iniziale, rispetto all’asse x, pari ad a.

Questo vettore ha la particolarità di essere rotante con velocità angolare costante w.

Si prolunghi l’asse x sulla destra e si tracci un secondo asse delle ordinate y’, una nuova origine in O’ a distanza da O leggermente superiore al modulo Y_M del vettore.

Sulle ordinate di questa seconda coppia di assi si riportano le proiezioni del vettore rotante Y_M e sulle ascisse gli angoli che il vettore determina rispetto all’asse x durante la rotazione.

In pratica l’asse delle ascisse contiene due scale di misura, una per spostamenti lineari e una per spostamenti angolari.

Si considerino, partendo dall’angolo a, un numero significativo di posizioni di Y_M nel suo movimento rotatorio intorno ad O, ad esempio quelle corrispondenti agli angoli a, 90°, 180-a, 180°, 180°+a, 270°, 360-a, 360°.

Quindi sull’asse y’ si riportino, con il dovuto segno, le proiezioni su di esso del vettore Y_M e sull’asse x i corrispondenti angoli.

Unendo i punti così determinati si ottiene una curva detta sinusoide perché i valori delle ordinate sono esattamente la funzione trigonometrica seno degli angoli corrispondenti alle varie posizioni del vettore.

Si deve, per precisione, notare che gli angoli in oggetto dipendono dal tempo, essendo la velocità angolare definita come il rapporto:

         b
w = ------
         t

Quindi l’angolo è dato da:

b = wt

In pratica si è constatato che esiste una corrispondenza tra ogni punto di una sinusoide e ogni posizione di un vettore rotante con velocità angolare costante w.