L’introduzione dei numeri immaginari ha permesso di dare un senso alle radici di indice pari di numeri negativi.

L’introduzione dei numeri complessi ha permesso di effettuare in modo più semplice le operazioni sui vettori, oltre a numerose altre applicazioni

Posto:
i² = -1 si ha:
radice quadrata di -1 = i

i è detta unità immaginaria e può essere utilizzata come qualsiasi altro numero:

i x 1 = i;
i x 0 = 0;

se a e b sono due numeri reali:

bi = ib;         ai + bi = i(a+b) .

i¹ = i;         i² = -1;      i³ = -i; i⁴= 1;

Se a e b sono due numeri reali allora:

a+ib

rappresenta un numero complesso.

Operazioni principali:

(a+ib)+(c+id)= (a+c) + i(b+d)

(a+ib)-(c+id)= (a-c) +i(b-d)

(a+ib)(c-id)=ac-iad+ibc-i²bd = (ac+bd )+i(bc-ad)

(a+ib)+(a-ib)= 2a (somma di numeri coniugati)

(a+ib)(a-ib) = a²+b²

1                 a-ib                      a-ib
------- = ---------------- = ---------------------
a+ib        (a+ib)(a-ib)           a² + b²

(a+ib)² = (a²–b² ) + i2ab

(a-ib)² = (a²+b² ) - i2ab

Si disegni un sistema di assi cartesiani. Si definiscono asse immaginario j l’asse delle ordinate e asse reale r l’asse delle ascisse.

Si riporti a partire dall’origine un segmento proporzionale ad a sull’asse reale ( ad es. OA) e un segmento proporzionale a b sull’asse immaginario nel verso positivo perché +jb ( ad es. OB). Tracciando le parallele agli assi per A e B si ottiene il punto P, che dicesi immagine geometrica del numero complesso. Congiungendo il punto P con l’origine O si ottiene il segmento OP che determina l’angolo a con l’asse reale.

La lunghezza del segmento OP si ottiene applicando il teorema di Pitagora al triangolo OPA ( radice quadrata di  a²+b² ) mentre l’angolo a si ottiene dalla tangente di a pari a b/a, effettuando l’operazione inversa arctg(b/a).