In un circuito puramente capacitivo, la tensione applicata è in ritardo di 90 gradi sulla corrente erogata.

• Numeri complessi

• Legge di Neumann

• Legge di Ohm

Si disegni un circuito elementare con un generatore di tensione sinusoidale di valore v = E_M sen(wt) che alimenti una capacità C.

C rappresenta un carico puramente capacitivo, cioè con resistenza nulla (R=0) e induttanza nulla (L=0). In c.a. il condensatore di capacità C subisce alternativamente fasi di carica e scarica poiché sulle armature la tensione cambia segno con legge sinusoidale, quindi la corrente segue le vicende della tensione e non si annulla mai definitivamente. Pertanto in c.a. il suo comportamento è molto diverso da quello assunto in c.c dove, dopo un transitorio più o meno breve, la corrente si azzera.

Si supponga che la corrente nel circuito sia anch’essa sinusoidale. La relazione fondamentale q=Cv si può scrivere in modo da mettere in evidenza le variazioni rispetto al tempo delle variabili v e q:

Dq         Dv                                                      dq           dv
----- = C ---- per variazioni infinitesime si ha ----- = C -----
Dt          Dt                                                      dt            dt

Ma il rapporto dq/dt rappresenta per definizione la corrente i per cui:
          dv
i = C -----
          dt

Si disegni il grafico cartesiano della corrente v, per ipotesi sinusoidale. Quindi immediatamente al di sotto un secondo grafico cartesiano, ove traccciare poi l’andamento di i. Sulle ascisse si riportino 0, 90, 180, 270 e 360 gradi.

Si noti che la corrente i dipende dalle variazioni di v rispetto al tempo. Per chi conosce le derivate, l’andamento di i si trova con semplici passaggi matematici. dv/dt non è altro che la derivata della tensione rispetto al tempo. Essendo v sinusoidale anche la sua derivata, e quindi la corrente, è sinusoidale ma sfasata di 90 gradi in anticipo su v:

         d
i=C ----- E_Msen(wt) = wCE_Mcos(wt) = wCE_Msen(wt+90)
        dt

Il termine Xc = 1/wC è detto reattanza capacitiva ed ha le dimensioni di ohm perché ottenutocome rapporto tra tensione e corrente ( il seno è un numero puro e quindi non incide sull’unità di misura), come impone la legge di Ohm.

Ma la cosa può essere dimostrata anche intuitivamente per costruzione grafica. Infatti il valore minimo della i si ha quando le variazioni della v sono massime e i valori massimi quando si hanno le variazioni minime della v. Se si tracciano sul secondo grafico, al di sotto della curva della v, questi cinque punti, e quindi per interpolazione si fissano i punti intermedi, si trova per i un andamento ancora sinusoidale ma sfasato di 90 gradi in anticipo sulla tensione.

Per circuiti puramente capacitivi la legge di ohm si scrive:

V= X_cI

Dove V ed I sono i valori efficaci della tensione e della corrente e Xc è la Reattanza. Ma in c.a. la legge di ohm oltre ad esprimere la relazione di proporzionalità deve anche esprimere la relazione di fase tra corrente e tensione. Quindi, ricorrendo alle notazioni dei numeri complessi, dovendo essere V in ritardo di 90 gradi sulla corrente si può usare il fasore -J, per cui si scrive:

V = - J X_cI